【題目】如圖，四棱錐
，
，
，
，
為等邊三角形，平面
平面
，
為
中點.
（1）求證：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
（1）證明
及
，即可證明：
平面
，問題得證。
（2）建立空間直角坐標系，由（1）得
為平面的法向量，求得平面
的法向量為
，利用空間向量夾角的數量積表示即可求得二面角
的余弦值.
（1）證明：因為
，
，
所以
，
又平面
平面
，且平面
平面
，
所以
平面
.
又
平面，所以，
因為
為
中點，且
為等邊三角形，所以.
又
，所以平面.
（2）取
中點為
，連接
，因為為等邊三角形，所以
，
因為平面平面，所以
平面，
所以
，由
，
，
可知
，所以
.
以中點為坐標原點，分別以
，
，
所在直線為
，
，
軸，建立如圖所示的空間直角坐標系
.
所以
，
，
，
，
，
所以
，
，
由（1）知，
為平面的法向量，
因為為的中點，
所以
，
所以，
設平面的法向量為
，
由
，得
，
取
，則.
所以
.
因為二面角為鈍角，
所以，二面角的余弦值為.
黃岡小狀元解決問題天天練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）＝xex－alnx（無理數e＝2.718…）．
（1）若f（x）在（0，1）單調遞減，求實數a的取值范圍；
（2）當a＝－1時，設g（x）＝x（f（x）－xex）－x3＋x2－b，若函數g（x）存在零點，求實數b的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地區高考實行新方案,規定:語文、數學和英語是考生的必考科目,考生還須從物理、化學、生物、歷史、地理和政治六個科目中選取三個科目作為選考科目.若一名學生從六個科目中選出了三個科目作為選考科目,則稱該學生的選考方案確定;否則,稱該學生選考方案待確定.例如,學生甲選擇“物理、化學和生物”三個選考科目,則學生甲的選考方案確定,“物理、化學和生物”為其選考方案.
某學校為了了解高一年級420名學生選考科目的意向,隨機選取30名學生進行了一次調查,統計選考科目人數如下表:
性別 | 選考方案確定情況 | 物理 | 化學 | 生物 | 歷史 | 地理 | 政治 |
男生 | 選考方案確定的有6人 | 6 | 6 | 3 | 1 | 2 | 0 |
選考方案待確定的有8人 | 5 | 4 | 0 | 1 | 2 | 1 | |
女生 | 選考方案確定的有10人 | 8 | 9 | 6 | 3 | 3 | 1 |
選考方案待確定的有6人 | 5 | 4 | 0 | 0 | 1 | 1 |
（Ⅰ）試估計該學校高一年級確定選考生物的學生有多少人？
（Ⅱ）寫出選考方案確定的男生中選擇“物理、化學和地理”的人數.（直接寫出結果）
（Ⅲ）從選考方案確定的男生中任選2名,試求出這2名學生選考科目完全相同的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知點
為拋物線
的焦點，過點
的直線交拋物線于
、
兩點，點
在拋物線上，使得
的重心
在
軸上，直線
交軸于點
，且在點的右側.記
、
的面積分別
、
.
（1）求
的值及拋物線的方程；
（2）求
的最小值及此時點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖,四棱錐
中,
平面
,
, 
.
,
,
,
是
的中點.
(Ⅰ)證明:
⊥平面
;
(Ⅱ)若二面角
的余弦值是
,求
的值;
(Ⅲ)若
,在線段
上是否存在一點
,使得
⊥
. 若存在,確定點的位置;若不存在,說明理由.
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