Question

若函數f（x）=x³+3ax²+3（a+2）x+1既有極大值又有極小值，則實數a的取值范圍為（　�。�

A．-1＜a＜2

B．-1≤a≤2

C．a≤-1或a≥2

D．a＜-1或a＞2

Answer 1

分析：先求導函數，根據函數f（x）=x³+3ax²+3（a+2）x+1既有極大值又有極小值，可得f′（x）=3x²+6ax+3（a+2）=0有兩個不等的實數根，從而可求實數a的取值范圍

解答：解：求導函數可得，f′（x）=3x²+6ax+3（a+2）
∵函數f（x）=x³+3ax²+3（a+2）x+1既有極大值又有極小值，
∴f′（x）=3x²+6ax+3（a+2）=0有兩個不等的實數根
∴△=36a²-36（a+2）＞0
∴a²-a-2＞0
∴a＜-1或a＞2
故選D

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查解不等式，屬于基礎題．