Question

（2012•許昌三模）設函數，f（x）=

1 1-x ，x∈(-∞，0] x3-3x+1，x∈(0，+∞)

，若方程f（x）-m=0有且僅有兩個實數根，則實數m的取值范圍是（　　）

A．-1＜m≤1

B．-1＜m＜0或m=1

C．-1＜m≤0或m=1

D．-1＜m≤0

Answer 1

分析：由題意可得，函數y=f（x）的圖象和直線 y=m有2個交點．利用導數確定函數f（x）的單調性以及值域，數形結合求得實數m的取值范圍．

解答：解：由題意可得，函數y=f（x）的圖象和直線 y=m有2個交點．
當x≤0時，f（x）=

1

1-x

 是增函數，且 0＜f（x）≤1．
當x＞0時，f（x）=x³-3x+1，令 f′（x）=3 x²-3=0，可得x=1． 由于 f′（x）在（0，1）上小于0，在（1，+∞）上大于0，
故f（x） 在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數，故 f（x）的最小值為 f（1）=-1，當x趨于+∞時，f（x）趨于+∞．
如圖所示：
故m=1，或-1＜m≤0，
故選C．

點評：本題主要考查函數的零點的定義，函數的零點與方程的根的關系，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于中檔題．