Question

在數列{a_n}中，如果對任意的n∈N^*，都有

an+2

an+1

-

an+1

an

=λ（λ為常數），則稱數列{a_n}為比等差數列，λ稱為比公差．則下列命題中真命題的序號是

①③

①若數列{F_n}滿足F₁=1，F₂=1，F_n=F_n-1+F_n-2（n≥3），則該數列不是比等差數列；
②若數列{a_n}滿足an=(n-1)•2n-1，則數列{a_n}是比等差數列，且比公差λ=2；
③“等差數列是常數列”是“等差數列成為比等差數列”的充分必要條件；
④數列{a_n}滿足：a1=

3

2

，且an=

3nan-1

2an-1+n-1

（n≥2，n∈N），則此數列的通項為an=

n•3n

3n-1

，且{a_n}不是比等差數列．

Answer 1

分析：根據比等差數列的定義

an+2

an+1

-

an+1

an

=λ（λ為常數），逐一判斷①～④中的四個數列是否是比等差數列，即可得到答案．

解答：解：數列{F_n}滿足F₁=1，F₂=1，F₃=2，F₄=3，F₅=5，

F3

F2

-

F2

F1

=1，

F4

F3

-

F3

F2

=-

1

2

≠1，則該數列不是比等差數列，
故①正確；
若數列{a_n}滿足an=（n-1）•2n-1，則

an+2

an+1

-

an+1

an

=

-2

(n-1)•n

不為定值，即數列{a_n}不是比等差數列，
故②錯誤；
等比數列

an+2

an+1

-

an+1

an

=0，滿足比等差數列的定義，若等差數列為a_n=n，則

an+2

an+1

-

an+1

an

=

-1

(n-1)•n

不為定值，即數列{a_n}不是比等差數列，故③正確；
數列{a_n}的通項公式為：an=

n•3n

3n-1

，則a1=

3

2

，a2=

9

4

，a3=

81

26

，a4=

81

20

，

a3

a2

-

a2

a1

=-

3

26

，

a4

a3

-

a3

a2

=-

11

130

≠-

3

26

，不滿足比等差數列的定義，故④不正確；
故答案為：①③

點評：本題考查新定義，解題時應正確理解新定義，同時注意利用列舉法判斷命題為假，屬于難題．