Question

拋物線y²=4x的焦點為F，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂，y₁＞0，y₂＜0）在拋物線上，且存在實數λ，使=0，．
（1）求直線AB的方程；
（2）求△AOB的外接圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出拋物線的準線方程，根據=0可得到A，B，F三點共線，再由拋物線的定義可表示出||，再設直線AB方程后與拋物線方程進行聯立消去y得到關于x的方程，進而可得到兩根之和與兩根之積，代入到||的表達式中可求出最后k的值，進而得到直線AB的方程．
（2）由（1）中求得的直線方程與拋物線聯立可求出A，B的坐標，然后設圓的一般式方程，用待定系數法求出D，E，F的值，得到答案．
解答：解：（1）拋物線y²=4x的準線方程為x=-1．
∵=0，
∴A，B，F三點共線．
由拋物線的定義，得||=x₁+x₂+2．
設直線AB：y=k（x-1），而k=，x₁＞x₂，y₁＞0，y₂＜0．∴k＞0
由得k²x²-2（k²+2）x+k²=0．
∴
||=x₁+x₂+2=．
∴．
從而k=，
故直線AB的方程為y=，
即4x-3y-4=0．
（2）由求得A（4，4），B（，-1）．
設△AOB的外接圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則解得
故△AOB的外接圓的方程為．
點評：本題主要考查直線與拋物線的綜合問題．考查綜合運用能力．