Question

函數f（x）=-ax²+4x+1的定義域為[-1，2]，
（1）若a=2，求函數f（x）的值域；
（2）若a為非負常數，且函數f（x）是[-1，2]上的單調函數，求a的范圍及函數f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）當a=2時，f（x）=-2x²+4x+1=-2（x-1）²+3 …（2分）
當x∈[-1，1]時，f（x）單調遞增，當x∈[1，2]時，f（x）單調遞減，
f（x）_max=f（1）=3，
又∵f（-1）=-5，f（2）=1，
∴f（x）_min=f（-1）=-5，
∴f（x）的值域為[-5，3]…（6分）
（2）當a=0時，f（x）=4x+1，在[-1，2]內單調遞增，…（7分）
當a＞0時，f（x）=，…（8分）
又f（x） 在[-1，2]內單調
∴或
∴-2≤a＜0或0＜a≤1
∵a＞0
∴0＜a≤1，此時函數在[-1，2]內單調遞增
綜上：當0≤a≤1時，f（x）在[-1，2]內單調遞增，
∵f（x）_min=f（-1）=-a-3，f（x）_max=f（2）=-4a+9，
∴值域為[-a-3，-4a+9]
故a的取值范圍是[0，1]，f（x）值域為[-a-3，-4a+9]-----（12分）
分析：（1）當a=2時，f（x）=-2x²+4x+1=-2（x-1）²+3，當x∈[-1，1]時，f（x）單調遞增，當x∈[1，2]時，f（x）單調遞減，故可求函數f（x）的值域；
（2）分類討論：當a=0時，f（x）=4x+1，在[-1，2]內單調遞增；當a＞0時，根據函數f（x）是[-1，2]上的單調函數，可確定0＜a≤1時，f（x）在[-1，2]內單調遞增，從而可求函數的值域及a的范圍
點評：本題以二次函數為載體，考查函數的值域，考查函數的單調性，掌握二次函數值域研究的方法，明確函數的單調性與對稱軸的關系是關鍵