Question

已知函數f（x）=-x²+8x，g（x）=6lnx+m．
（Ⅰ）求f（x）在區間[t，t+1]上的最大值h（t）；
（Ⅱ）是否存在實數m，使得y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題考查的是定函數與動區間的問題，是一元二次函數中的一動一定的問題，解題時要針對于二次函數的對稱軸與區間的關系進行討論，即對稱軸在區間上，或是在區間的左邊或右邊．
（2）遇到關于兩個函數的圖象的交點個數的問題，一般是構造新函數，題目轉化為研究函數的零點問題，通過導數得到函數的最值，把函數的最值同0進行比較，得到結果．

解答：解：（I）f（x）=-x²+8x=-（x-4）²+16．
當t+1＜4，即t＜3時，f（x）在[t，t+1]上單調遞增，
h（t）=f（t+1）=-（t+1）²+8（t+1）=-t²+6t+7；
當t≤4≤t+1，即3≤t≤4時，h（t）=f（4）=16；
當t＞4時，f（x）在[t，t+1]上單調遞減，
h（t）=f（t）=-t²+8t．
綜上，h(t)=

-t2+6t+7，t＜3 16，3≤t≤4 -t2+8t，t＞4

（II）函數y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有三個不同的交點，
即函數m（x）=g（x）-f（x）的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點．
∵m（x）=x²-8x+6lnx+m，
∴?′(x)=2x-8+

6

x

=

2x2-8x+6

x

=

2(x-1)(x-3)

x

(x＞0)，
當x∈（0，1）時，m'（x）＞0，m（x）是增函數；
當x∈（1，3）時，m'（x）＜0，m（x）是減函數；
當x∈（3，+∞）時，m'（x）＞0，m（x）是增函數；
當x=1，或x=3時，m'（x）=0．
∴m（x）_最大值=m（1）=m-7，m（x）_最小值=m（3）=m+6ln3-15．
∵當x充分接近0時，m（x）＜0，當x充分大時，m（x）＞0．
∴要使m（x）的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點，必須且只須

?(x)最大值=m-7＞0 ?(x)最小值=m+6ln3-15＜0

即7＜m＜15-6ln3．
∴存在實數m，使得函數y=f（x）與y=g（x）的圖象有且只有三個不同的交點，m的取值范圍為（7，15-6ln3）．

點評：本小題主要考查函數的單調性、極值、最值等基本知識，考查運用導數研究函數性質的方法，考查運算能力，考查函數與方程、數形結合、分類與整合等數學思想方法和分析問題、解決問題的能力．