Question

（本題滿分8分．老教材試題第1小題4分，第2小題4分；新教材試題第1小題3分，第2小題5分．）

（老教材） 設a為實數，方程2x2-8x+a+1=0的一個虛根的模是 5 ． （1）求a的值； （2）在復數范圍內求方程的解．

（新教材） 設函數f（x）=2x+p，（p為常數且p∈R） （1）若f（3）=5，求f（x）的解析式； （2）在滿足（1）的條件下，解方程：f-1（x）=2+log2x2．

Answer 1

分析：（老教材）（1）設方程2x²-8x+a+1=0的兩個虛根為z₁，z₂，而該方程為實系數方程，所以方程兩根必為共軛虛根，然后根據|z1|2=z1•

.

z1

=z1•z2=5可求出a的值；
（2）將a代入方程，然后在復數范圍內解方程即可；
（新教材）（1）據題意f（3）=5代入方程，求出p的值，從而求出解析式；
（2）先求出函數的反函數，然后解對數方程，注意定義域優先原則，從而求出所求．

解答：（老教材）解：（1）設方程2x²-8x+a+1=0的兩個虛根為z₁，z₂
由于該方程為實系數方程，所以方程兩根必為共軛虛根，即z1=

.

z2

又|z1|2=z1•

.

z1

=z1•z2=

a+1

2

=5⇒a=9．
（2）由（1）得方程2x²-8x+10=0，即x²-4x+5=0
解得z₁=2+i，z₂=2-i．
（新教材）解：（1）據題意f（3）=5代入f（x）=2^x+p，得2³+p=5⇒p=-3，所以f（x）=2^x-3．
（2）由2^x=y+3，得x=log₂（y+3）
所以f^-1（x）=log₂（x+3），x∈（-3，0）∪（0，+∞）．
故方程即為log₂（x+3）=2+log₂x²，⇒log₂（x+3）=log₂（4x²）⇒4x²-x-3=0，解得x=1，x=-

3

4

．
由于，經檢驗x1=1，x2=-

3

4

都為原方程的根．

點評：本題主要考查了復數運算，以及反函數和對數方程，解題時需注意定義域，屬于基礎題．