Question

（本小題滿分16分）

數列的前n項和為，存在常數A，B，C，使得對任意正整數n都成立。

（１）  若數列為等差數列，求證：3A－B＋C＝０；

（２）  若設數列的前ｎ項和為，求；

（３）  若C=0，是首項為1的等差數列，設，求不超過P的最大整數的值。

 

Answer 1

【答案】

⑴見解析；⑵．⑶不超過的最大整數為．

【解析】本試題主要是考查了數列的通項公式的求解，以及數列的求和，和運用數列來證明不等式的綜合運用。

（1）利用已知條件中通項公式和前n項和的關系式，得到前幾項，結合等差數列的定義得到關系的證明。

（2）利用第一問的結論，表示數列的通項公式，分析特點，運用錯位相減法等求解前n項和。

（3）根據等差數列得到需要求解的和式，得到結論。

解：⑴因為為等差數列，設公差為，由，

得，

即對任意正整數都成立．

所以所以．       ………………………………4分

⑵ 因為，所以，

當時，，

所以，即，

所以，而，

所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以． …………… 7分

于是．所以①，，②

由①②，

得．

所以．…………………………………………………………………10分

⑶ 因為是首項為的等差數列，由⑴知，公差，所以．

而

，……………………………14分

所以，

所以，不超過的最大整數為．………………………………………………16分