Question

如圖所示，正五邊形ABCDE的每個頂點對應著一個整數，且這五個整數的和為正數．若其3個相鄰頂點對應的整數依次為x、y、z，且y＜0，則要進行如下的操作：把整數x、y、z分別換為x+y，-y，z+y，稱其為一次“求正”操作．只要五個整數中有負整數，“求正”操作就要繼續進行．
（Ⅰ）若 A，B，C，D，E對應的數分別為3，-2，-2，4，1，寫出每一步“求正”操作直到終止；
（Ⅱ）若 A，B，C，D，E對應的數分別為a，-4，5，1，2，并且經過兩次“求正”操作后終止，求實數a的值；
（Ⅲ）判斷對任意滿足條件的數組，“求正”操作是否經過有限次后就一定能終止？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據“求正”操作的程序可得，操作依次為：3，-2，-2，4，1→1，2，-4，4，1，→1，-2，4，0，1，→
-1，2，2，0，1，→1，1，2，0，0．
（II）分對-4操作和對a-4進行操作兩種情況，建立關于a的不等關系，結合a為整數，即可求出所求a的值．
（III）我們把5個數的環列寫成橫我v，w，x，y，z．不妨設y＜0，經變換后得v，w，x+y，-y，z+y．下面考察5個數的平方和再加上每相鄰兩數和的平方這一整體，根據變換前后的差小于0，由此可得，這一整體每經過一次變換都要減小，但最初這一整體是正整數，經變換后還是正整數，而正整數是不能無限減小的，所以變換必定有終止的時候．
解答：解：（I）操作依次為：3，-2，-2，4，1→1，2，-4，4，1，→1，-2，4，0，1，→
-1，2，2，0，1，→1，1，2，0，0．
（II）分兩種情況，先對-4操作，過程如下：
a，-4，5，1，2→a-4，4，1，1，2．此時，a-4必為負數，繼續操作，→4-a，a，1，1，a-2．
于是有，解之得a=2或3．
若對a進行操作，a，-4，5，1，2→-a，a-4，5，1，a+2．此時a-4＜a-2，
故可對a-4進行操作，-a，a-4，5，1，a+2→-4，4-a，a+1，1，a+2．顯然無法終止，不符合題意．
綜上，所求a的值為2或3．
（III）為方便見，我們把5個數的環列寫成橫我v，w，x，y，z．不妨設y＜0，經變換后得v，w，x+y，-y，z+y．
考察5個數的平方和再加上每相鄰兩數和的平方這一整體，那么變換前后的差是：
{v²+w²+（x+y）²+（-y）²+（z+y）²+（v+w）²+（w+x+y）²+x²+z²+（z+y+v）²]-{v²+w²+（x+y）²+y²+（z+y）²+（v+w）²+（w+x）²+x²+z²+（z+v）²]=2y（v+w+x+y+z）＜0，
由此可得，這一整體每經過一次變換都要減小，但最初這一整體是正整數，經變換后還是正整數，
而正整數是不能無限減小的，所以變換必定有終止的時候．
即“求正”操作經過有限次后就一定能終止．
點評：本題主要考查了進行簡單的合情推理，考查了數學邏輯思想能力，屬于難題．