Question

解答題

已知a，b，c均為實數，函數f(x)＝ax²＋bx＋c與g(x)＝ax＋b，且當－1≤x≤1時，恒有|f(x)|≤1．證明：(1)|c|≤1；(2)|g(x)|≤2．

Answer 1

答案：
解析：

�、倭顇＝0，則f(0)＝c． 　　∵當－1≤x≤1時，|f(x)|≤1，∴|c|≤1． 　�、诋攁＞0，g(x)＝ax＋b在[－1，1]上是增函數， 　　∴g(－1)≤g(x)≤g(1)． 　　∵|f(x)|≤1，|c|≤1，(當－1≤x≤1時)， 　　∴g(1)＝a＋b＝f(1)－c≤|f(1)|＋|c|≤2， 　　g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≥－(|f(1)＋|c|)≥－2， 　　∴－2≤g(x)≤2，∴|g(x)|≤2． 　　當a＜0時，g(x)在[－1，1]上是減函數． 　　∴g(1)≤g(x)≤g(－1)． 　　∵|f(x)|≤1，|c|≤1(當－1≤x≤1時) 　　∴g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≤|f(－1)|＋|c|≤2， 　　g(1)＝a＋b＝f(1)－c≥－(|f(1)|＋|c|)≥－2， 　　∴－2≤g(x)≤2，∴|g(x)|≤2． 　　綜合以上，|g(x)|≤2．