Question

某地區試行高考考試改革：在高三學年中舉行5次統一測試，學生如果通過其中2次測試即可獲得足夠學分升上大學繼續學習，不用參加其余的測試，而每個學生最多也只能參加5次測試．假設某學生每次通過測試的概率都是

1

3

，每次測試通過與否互相獨立．規定：若前4次都沒有通過測試，則第5次不能參加測試．
（Ⅰ）求該學生考上大學的概率．
（Ⅱ）如果考上大學或參加完5次測試就結束，記該生參加測試的次數為ξ，求變量ξ的分布列及數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）該學生考上大學的概率等于1減去該學生考不上大學的概率．考不上大學包括：①前4次測試只通過了一次，且第五次沒有通過，②前4次都沒有通過測試．
（Ⅱ）該生參加測試次數ξ的可能取值為2，3，4，5，求出ξ取每個值的概率，即得ξ的分布列，由分布列求變量數學期望
Eξ 的值．

解答：解：（Ⅰ）記“該生考上大學”的事件為事件A，其對立事件為

.

A

，則P(

.

A

)=

C

1 4

(

1

3

)(

2

3

)3(

2

3

)+(

2

3

)4=

64

243

+

16

81

=

112

243

．
∴P(A)=1-P(

.

A

)=1-

112

243

=

131

243

．（6分）
（Ⅱ）該生參加測試次數ξ的可能取值為2，3，4，5．
P(ξ=2)=(

1

3

)2=

1

9

，P(ξ=3)=

C

1 2

.

1

3

.

2

3

.

1

3

=

4

27

，
． P(ξ=4)=

C

1 3

•

1

3

•(

2

3

)2•

1

3

=

4

27

．
由于規定：若前4次都沒有通過測試，則第5次不能參加測試，
當ξ=5時的情況，說明前4次只通過了1次，但不必考慮第5次是否通過．
∴P(ξ=5) = 

C

1 4

•

1

3

•(

2

3

)3=

32

81

．
故ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5
Eξ	1 9	4 27	4 27	32 81

Eξ=2×

1

9

+3×

4

27

+4×

4

27

+5×

32

81

=

114

27

=

264

81

． （12分）

點評：本題考查用間接解法求獨立事件的概率（1減去其對立事件的概率），以及球離散型隨機變量的分布列、數學期望的方法．