Question

【題目】在如圖所示的空間幾何體中，平面平面，與都是邊長為2的等邊三角形，，與平面所成的角為，且點E在平面上的射影落在的平分線上.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）取的中點，連接，，可證得平面，作平面，那么，通過證明四邊形是平行四邊形，證得，由線面平行的判定定理證明；（2）以為坐標原點，為軸的正方向建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量和平面的法向量的夾角，即得二面角的余弦值.

試題解析：（1）由題意知、為邊長2的等邊 取的中點，連接，，

則，.又平面平面，平面，作平面，

那么，根據題意，點落在上，和平面所成的角為，， ，，四邊形是平行四邊形，.

平面ABC，平面， 平面.

（2）建立空間直角坐標系，則，，，

平面的一個法向量為

設平面的法向量 則

取，

，又由圖知，所求二面角的平面角是銳角，二面角的余弦值為.