Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別是棱BC，CC₁上的點（點D異于B、C）且AD⊥DE．
（1）求證：面ADE⊥面BCC₁B₁
（2）若△ABC為正三角形，AB=2，AA₁=4，E為CC₁的中點，求二面角E-AD-C的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，得到CC₁⊥平面ABC，從而AD⊥CC₁，結合已知條件AD⊥DE，DE、CC₁是平面BCC₁B₁內的相交直線，得到AD⊥平面BCC₁B₁，從而平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
（2）證明∠EDC是二面角E-AD-C的平面角，利用正切函數，可得結論．
解答：（1）證明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴CC₁⊥平面ABC，
∵AD?平面ABC，
∴AD⊥CC₁
又∵AD⊥DE，DE、CC₁是平面BCC₁B₁內的相交直線
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∵AD?平面ADE
∴平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
（2）解：由（1）知，AD⊥BC，
∵CC₁⊥平面ABC，∴DE⊥AD，
∴∠EDC是二面角E-AD-C的平面角
∵△ABC為正三角形，AB=2，AA₁=4，E為CC₁的中點，
∴CD=1，CE=2
∴tan∠EDC==2．
點評：本題直三棱柱為載體，考查了直線與平面垂直的判定和平面與平面垂直的判定，考查面面角，屬于中檔題．