Question

（2012•河西區一模）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，AC=4，∠BAC=90°，D是AB的中點．
（Ⅰ）求證：AC₁∥平面B₁DC；
（Ⅱ）求二面角B₁-DC-B的余弦值；
（Ⅲ）試問線段A₁C₁上是否存在點E，使得CE與DB₁成60°角？若存在，求線段CE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，確定平面B₁DC的法向量，證明

n1

•

AC1

=0，即可證明AC₁∥平面B₁DC；
（Ⅱ）求出平面BDC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角B₁-DC-B的余弦值；
（Ⅲ）假設線段A₁C₁上存在點E，利用CE與DB₁成60°角，結合向量的夾角公式，求出向量的坐標，即可求得結論．

解答：（Ⅰ）證明：如圖建立空間直角坐標系A-xyz，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），A₁（0，0，2），
B₁（2，0，2），C₁（0，4，2），D（1，0，10），…（2分）
則

DB1

=（1，0，2），

CD

=（1，-4，0）
設平面B₁DC的法向量為

n1

=（x，y，z），則

n1 • DB1 =0 n1 • CD =0

，即

x+2z=0 x-4y=0

取y=1，得

n1

=（4，1，-2），…（3分）
∵

AC1

=（0，4，2），
∴

n1

•

AC1

=0，
∴

n1

⊥

AC1

，
∴AC₁∥平面B₁DC；．…（4分）
（Ⅱ）解：設平面BDC的法向量

n2

=（0，0，1），二面角B₁-DC-B的大小為θ，
則cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

2

21 ×1

=

2 21

21

，
所以二面角B₁-DC-B的余弦值為

2 21

21

．…（8分）
（Ⅲ）解：假設線段A₁C₁上存在點E（0，y，2），（0＜y＜4），則

CE

=（0，y-4，2），…（9分）
∵|cos＜

CE

，

DB1

＞|=|

CE • DB1

| CE || DB1 |

|，…（10分）
∴cos60°=

4

(y-4)2+4 × 5

，
整理得5y²-40y+36=0，∴y=4±

2 55

5

∵0＜y＜4，∴y=4-

2 55

5

，…（12分）
∴

CE

=（0，-

2 55

5

，2），
∴|

CE

|=

(- 2 55 5 )2+22

=

8 5

5

．…（13分）

點評：本題考查線面平行，考查面面角，考查向量模的計算，考查空間向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．