Question

設a是正數，ax+y=2（x≥0，y≥0），記y+3x-x²的最大值是M（a），試求：
（1）M（a）的表達式；（2）M（a）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將代數式y+3x-x²表示為一個字母，由ax+y=2解出y后代入消元，建立關于x的二次函數，逐步進行分類求M（a）．
（2）由（1）知）M（a）是分段函數，對每一段進行求最小值，然后從中選最小的，作為M（a）的最小值．
解答：解：（1）設S（x）=y+3x-x²，將y=2-ax代入消去y，得：
S（x）=2-ax+3x-x²
=-x²+（3-a）x+2
=-[x-（3-a）]²+（3-a）²+2（x≥0）
∵y≥0∴2-ax≥0
而a＞0∴0≤x≤
下面分三種情況求M（a）
（i）當0＜3-a＜（a＞0），即
時
解得0＜a＜1或2＜a＜3時
M（a）=S（3-a）=（3-a）²+2
（ii）當3-a≥（a＞0）即
時，
解得：1≤a≤2，這時
M（a）=S（）=2-a•+3•-•=-+
（iii）當3-a≤0；即a≥3時
M（a）=S（0）=2
綜上所述得：
M（a）=

（2）下面分情況探討M（a）的最小值．
當0＜a＜1或2＜a＜3時
M（a）=（3-a）²+2＞2
當1≤a≤2時
M（a）=-+=-2（-）²+
∵1≤a≤2⇒≤≤1
∴當=時，M（a）取小值，即
M（a）≥M（2）=
當a≥3時，M（a）=2
經過比較上述各類中M（a）的最小者，可得M（a）的最小值是2．
點評：本題主要考查函數思想的和分類討論思想．解題經驗的積累，有利于解題思路的挖掘，對參數a的分類，完全依據二次函數頂點的橫坐標3-a是否在定義域區間[0，]內，這樣就引出三種討論情況，找出解題的方案．