Question

（12分）已知函數（），其中．

（Ⅰ）當時，討論函數的單調性；

（Ⅱ）若函數僅在處有極值，求的取值范圍；

（Ⅲ）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在，內是增函數，在，內是減函數．

（Ⅱ）滿足條件的的取值范圍是．

（Ⅲ）滿足條件的的取值范圍是

【解析】（Ⅰ）解：．

當時，．

令，解得，，．

當變化時，，的變化情況如下表：

所以在，內是增函數，在，內是減函數．

（Ⅱ）解：，顯然不是方程的根．

為使僅在處有極值，必須成立，即有．

解些不等式，得．這時，是唯一極值．

因此滿足條件的的取值范圍是．

（Ⅲ）解：由條件，可知，從而恒成立．

當時，；當時，．

因此函數在上的最大值是與兩者中的較大者．

為使對任意的，不等式在上恒成立，當且僅當，即，在上恒成立．

所以，因此滿足條件的的取值范圍是