Question

【題目】在直角坐標系中，點，是曲線上的任意一點，動點滿足

（1）求點的軌跡方程；

（2）經過點的動直線與點的軌跡方程交于兩點，在軸上是否存在定點（異于點），使得？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點符合題意.

【解析】

（1）設，，利用相關點代入法得到點的軌跡方程；

（2）設存在點，使得，則，因為直線l的傾斜角不可能為，故設直線l的方程為，利用斜率和為0，求得，從而得到定點坐標.

（1）設，，

則，，.

又，則即

因為點N為曲線上的任意一點，

所以，

所以，整理得，

故點C的軌跡方程為.

（2）設存在點，使得，所以.由題易知，直線l的傾斜角不可能為，故設直線l的方程為，

將代入，得.設，，則，.因為，所以，即，所以.故存在點，使得.