Question

函數f(x)=

3

cos(2x-θ)-sin(2x-θ)(0＜θ＜

π

2

)是偶函數．
（1）求θ；
（2）將函數y=f（x）的圖象先縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的

2

3

倍，再向左平移

π

18

個單位，然后向上平移1個單位得到y=g（x）的圖象，若關于x的方程g(x)-

2

m

-1=0在x∈[-

π

6

，

7π

18

]有且只有兩個不同的根，求m的范圍．

Answer 1

分析：（1）先用輔助角法將函數轉化為一個角的一種三角函數，再由其為偶函數求解．
（2）由（1）知f（x）然后嚴格按照變換要求得到g（x），再將方程g(x)-

2

m

-1=0轉化為cos(3x+

π

6

)=

1

m

求解．

解答：解：（1）f(x)=2cos(2x-θ+

π

6

)，
而f（x）為偶函數，則

π

6

-θ=kπ即
∴θ=-kπ+

π

6

，k∈Z
又∵0＜θ＜

π

2

，∴θ=

π

6

（2）f（x）=2cos2x，g(x)=2cos(3x+

π

6

)+1
∴g(x)-

2

m

-1=0可化為cos(3x+

π

6

)=

1

m

y=cos(3x+

π

6

)與y=

1

m

在x∈[-

π

6

，

7π

18

]
1＜m≤2或-2≤m＜-1

點評：本題主要考查輔助角法轉化三角函數及三角函數性質，圖象變換和用數形結合解決方程根的問題．