Question

已知點F為拋物線C：y²=4x的焦點，點P是準線l上的動點，直線PF交拋物線C于A，B兩點，若點P的縱坐標為m（m≠0），點D為準線l與x軸的交點．
（Ⅰ）求直線PF的方程；
（Ⅱ）求△DAB的面積S范圍；
（Ⅲ）設

AF

=λ

FB

，

AP

=μ

PB

，求證λ+μ為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題知點P，F的坐標分別為（-1，m），（1，0），求出斜率用點斜式寫出直線方程．
（Ⅱ）設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），用弦長公式求出線段AB的長，再由點到直線的距離公式求點D到直線AB的距離，用三角形面積公式表示出面積關于參數m的表達式，再根據m的取值范圍求出面積的范圍．
（Ⅲ）

AF

=λ

FB

，

AP

=μ

PB

，變化為坐標表示式，從中求出參數λ，μ用兩點A，B的坐標表示的表達式，即可證明出兩者之和為定值．

解答：解：（Ⅰ）由題知點P，F的坐標分別為（-1，m），（1，0），
于是直線PF的斜率為-

m

2

，
所以直線PF的方程為y=-

m

2

(x-1)，即為mx+2y-m=0．（3分）

（Ⅱ）設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由

y2=4x y=- m 2 (x-1)

得m²x²-（2m²+16）x+m²=0，
所以x1+x2=

2m2+16

m2

，x₁x₂=1．
于是|AB|=x1+x2+2=

4m2+16

m2

．
點D到直線mx+2y-m=0的距離d=

2|m|

m2+4

，
所以S=

1

2

|AB|d=

1

2

4(m2+4)

m2

2|m|

m2+4

=4

1+ 4 m2

．
因為m∈R且m≠0，于是S＞4，
所以△DAB的面積S范圍是（4，+∞）．（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）及

AF

=λ

FB

，

AP

=μ

PB

，得（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），（-1-x₁，m-y₁）=μ（x₂+1，y₂-m），
于是λ=

1-x1

x2-1

，μ=

-1-x1

x2+1

（x₂≠±1）．
所以λ+μ=

1-x1

x2-1

+

-1-x1

x2+1

=

2-2x1x2

(x2-1)(x2+1)

=0．
所以λ+μ為定值0．（14分）

點評：考查求直線方程、拋物線在的焦點弦弦長公式、點到直線的距離公式及向量中數乘向量的意義，涉及知識較多，綜合性較強．