Question

已知函數f（x）=（ax²+x）e^x，其中e是自然對數的底數，a∈R．
（1）當a＞0時，解不等式f（x）≤0；
（2）當a=0時，求整數t的所有值，使方程f（x）=x+2在[t，t+1]上有解；
（3）若f（x）在[-1，1]上是單調增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將不等式等價變形，利用一元二次不等式的求解方法，即可得到結論；
（2）先確定x=0不是方程的解，再構造函數，確定函數的單調性，利用零點存在定理，可求整數t的所有值；
（3）求導函數，分類討論，利用函數的單調性建立不等關系，即可求a的取值范圍．

解答：解：（1）因為e^x＞0，所以不等式f（x）≤0即為ax²+x≤0，
又因為a＞0，所以不等式可化為x(x+

1

a

)≤0，所以不等式f（x）≤0的解集為[-

1

a

，0]．
（2）當a=0時，方程即為xe^x=x+2，由于e^x＞0，所以x=0不是方程的解，所以原方程等價于e^x-

2

x

-1=0，
令h（x）=e^x-

2

x

-1，因為h′（x）=ex+

2

x2

＞0對于x≠0恒成立，
所以h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）內是單調增函數，
又h（1）=e-3＜0，h（2）=e²-2＞0，h（-3）=e-3-

1

3

＜0，h（-2）=e^-2＞0，
所以方程f（x）=x+2有且只有兩個實數根，且分別在區間[1，2]和[-3，-2]上，所以整數t的所有值為{-3，1}．
（3）f′（x）=[ax²+（2a+1）x+1]e^x，
①當a=0時，f′（x）=（x+1）e^x，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，當且僅當x=-1時取等號，故a=0符合要求；
②當a≠0時，令g（x）=ax²+（2a+1）x+1，
因為△=（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，所以g（x）=0有兩個不相等的實數根x₁，x₂，
不妨設x₁＞x₂，因此f（x）有極大值又有極小值．
若a＞0，因為g（-1）g（0）=-a＜0，所以f（x）在（-1，1）內有極值點，故f（x）在[-1，1]上不單調．
若a＜0，可知x₁＞0＞x₂，
因為g（x）的圖象開口向下，要使f（x）在[-1，1]上單調，
因為g（0）=1＞0，所以必須滿足

g(1)≥0 g(-1)≥0

，即

3a+2≥0 -a≥0

，所以-

2

3

≤a≤0．
綜上可知，a的取值范圍是[-

2

3

，0]．

點評：本題考查不等式的解法，考查函數的零點，考查函數的單調性，考查導數知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．