Question

（本題滿分13分）設函數，且，，求證：（1）且；
（2）函數在區間內至少有一個零點；
（3）設是函數的兩個零點，則.

Answer 1

（1）根據，求出，再根據即可得證；（2）先求出和，根據零點存在定理分和討論即可得證；
（3）利用韋達定理和第（1）問的結論即可得證.

解析試題分析：(1),,
又，,，                                ……2分
又.            ……4分
（2）
①當時，，
函數在區間內至少有一個零點
②當時，，，
函數在區間內至少有一個零點
綜上所述：函數在區間內至少有一個零點。                    ……8分
（3）是函數的兩個零點，

，.                             ……13分
考點：本小題主要考查不等式的性質、函數的零點存在定理和韋達定理的應用，考查學生的推理論證能力.
點評：證明此類問題時，要充分利用不等式的性質和題設條件，盡量每一步都做到言之有據.