Question

（2013•牡丹江一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于點E，點D在AB上，DE⊥EB．
（Ⅰ）求證：AC是△BDE的外接圓的切線；
（Ⅱ）若AD=2

3

，AE=6，求EC的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證明AC是△BDE的外接圓的切線，故考慮取BD的中點O，只要證明OE⊥AC，結合∠C=90°，證明BC∥OE即可
（Ⅱ）設⊙O的半徑為r，則在△AOE中，由OA²=OE²+AE²，可求r，代入可得OA，2OE，Rt△AOE中，可求∠A，∠AOE，進而可求∠CBE=∠OBE，在BCE中，通過EC與BE的關系可求

解答：證明：（Ⅰ）取BD的中點O，連接OE．
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，
∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．…（3分）
∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圓的切線．    …（5分）
（Ⅱ）設⊙O的半徑為r，則在△AOE中，OA²=OE²+AE²，即(r+2

3

)2=r2+62，
解得r=2

3

，…（7分）
∴OA=2OE，
∴∠A=30°，∠AOE=60°．
∴∠CBE=∠OBE=30°．
∴在Rt△BCE中，可得EC=

1

2

BE=

1

2

×

3

r=

1

2

×

3

×2

3

=3．                 …（10分）

點評：本題主要考查了切線的判定定理的應用，直角三角形基本關系的應用，屬于基本知識的簡單綜合．