Question

如果在（a，b）（a＜b）上的函數f（x），對于?x₁，x₂∈（a，b）都有f（

x1+x2

2

）＜

1

2

[f(x1)+f(x2)]（x₁≠x₂），則稱f（x）在（a．b）上是凹函數，設f（x）在（a，b）上可導，其函數f′（x）在（a，b）上也可導，并記[f′（x）]′=f″（x）
（1）如果f（x）在（a，b）上f″（x）＞0，證明：f（x）在（a，b）上是凹函數
（2）若f（x）=（x²-2ax-a+a²）e^x-lnx，用（1）的結論證明：當a＜-2時f（x）在（0，+∞）上是凹函數．

Answer 1

分析：（1）根據在（a，b）上f''（x）＞0，則f′（x）在（a，b）上是增函數，然后可證∴

∫	x1+x2 2 x1

f′(x)dx＜

∫	x2 x1+x2 2

f′(x)dx，從而得到f(

x1+x2

2

)＜

1

2

[f(x1)+f(x2)]，即可證得結論；
（2）先求f''（x），然后判定其符號，根據（1）的結論可證得當a＜-2時f（x）在（0，+∞）上是凹函數．

解答：（1）證明：∵在（a，b）上f''（x）＞0∴f′（x）在（a，b）上是增函數，不妨設x₁＜x₂
∴

∫	x1+x2 2 x1

f′(x)dx＜

∫	x1+x2 2 x1

f′(

x1+x2

2

)dx=

x2-x1

2

f′(

x1+x2

2

)

∫	x2 x1+x2 2

f′(x)dx＞

∫	x2 x1+x2 2

f′(

x1+x2

2

)dx=

x2-x1

2

f′(

x1+x2

2

)
∴

∫	x1+x2 2 x1

f′(x)dx＜

∫	x2 x1+x2 2

f′(x)dx
∴f(x)

.

x1+x2 2 x1

＜f(x)

.

x2 x1+x2 2

從而f(

x1+x2

2

)＜

1

2

[f(x1)+f(x2)]（6分）
（2）f′（x）=[x2+2(1-a)x-3a+a2]ex-

1

x

f''（x）=[x2+2(2-a)x+2-5a+a2]ex+

1

x2

（2分）
令F（x）=x²+2（2-a）x+2-5a+a²
△=4[（a-2）²-a²+5a-2]=4（a+2）
∵a＜-2∴△＜0                         （4分）
∴F（x）＞0，從而f''（x）＞0
∴f（x）在（0，+∞）上是凹函數                                   （6分）

點評：本題主要考查了定積分的應用，以及利用導數研究函數的單調性，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．