Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：的短軸長為2，傾斜角為的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，線段AB的中點為M，且點M與坐標原點O連線的斜率為.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若，P是以AB為直徑的圓上的任意一點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見證明

【解析】

（1）由已知得，利用點差法和題設得到關于，的表達式，從而得到結果；

（2）設直線，聯立橢圓方程得到關于x的一元二次方程，根據弦長公式和判別式可求得，再求出，利用幾何關系即可求得結果.

（1）由已知得，

設，，由，

兩式相減得，

由已知條件知：，

，

∴，即，

故橢圓C的標準方程為．

（2）設，聯立橢圓方程得，

則，

∴，且，．

∵，化簡得．

又∵M是弦AB的中點，

∴，故，即．

∵，

∴．