Question

已知二次函數f（x）的二次項系數為a，且不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）。
（1）若方程f（x）+6a=0有兩個相等的根，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）的最大值為正數，求a的取值范圍。

Answer 1

解：（1）設f（x）=ax²+bx+c，則不等式f（x）＞-2x為ax²+（b+2）x+c＞0，
∵不等式的解集為（1，3），
∴a＜0，=4，=3，即a＜0，b=-4a-2，c=3a，
∵方程ax²+bx+6a+c=0有兩個相等的根，
∴Δ=b²-4a（6a+c）=0，
把b、c分別代入Δ中，得5a²-4a-1=0. 解得a=，a=1（舍），
∴b=，c=，
∴f（x）的解析式為。
（2）由（1）知a＜0，所以當x=時，函數f（x）取到最大值，
由題設，得a（）²+b·（）+c＞0，
代入b、c并整理，得a²+4a+1＞0，
解得a＜-2-或a＞-2+，
又∵a＜0，
∴a的取值范圍為（-∞，-2-）∪（-2+，0）。