Question

【題目】已知△ABC中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，且2cos2 sinB，a=3c
（Ⅰ）分別求tanC和sin2C的值；
（Ⅱ）若b=1，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ 或 （舍），即 ，
∵a=3c，根據正弦定理可得：sinA=3sinC，
∵sin（B+C）=sinA，
∴ ，
經化簡得： ，
∴ ．
根據基本關系式可計算得： ，
∴ ．
（Ⅱ）∵ ，
∴ ，
根據余弦定理及題設可得： ，
解得： ，
∴
【解析】（Ⅰ）利用三角函數恒等變換的應用化簡 ，可得 ，結合B的范圍即可求得 ，由a=3c，根據正弦定理，三角函數恒等變換的應用化簡可得 ，根據基本關系式可計算得sinC，cosC的值，利用倍角公式即可求得sin2C的值．（Ⅱ）由 ，根據余弦定理及題設可解得c，a的值，利用三角形面積公式即可計算求解．
【考點精析】通過靈活運用正弦定理的定義和余弦定理的定義，掌握正弦定理:；余弦定理:;;即可以解答此題．