Question

設定義在［x₁,x₂］上的函數y=f(x)的圖象為C,C的端點為點A、B,M是C上的任意一點,向量=(x₁,y₁),=(x₂,y₂),=(x,y),若x=λx₁+(1-λ)x₂,記向量=λ+(1-λ).現在定義“函數y=f(x)在［x₁,x₂］上可在標準k下線性近似”是指||≤k恒成立,其中k是一個人為確定的正數.

(1)證明0≤λ≤1;

(2)請你給出一個標準k的范圍,使得［0,1］上的函數y=x²與y=x³中有且只有一個可在標準k下線性近似.

Answer 1

解:(1)證明:由題意,x₁≤x≤x₂,即x₁≤λx₁+(1-λ)x₂≤x₂,

∴x₁-x₂≤(x₁-x₂)λ≤0.∵x₁-x₂＜0,∴0≤λ≤1.

(2)由=λ+(1-λ)得到=λ,

∴B、N、A三點在一條直線上.

又由(1)的結論,N在線段AB上且與點M的橫坐標相同,

對于［0,1］上的函數y=x²,A(0,0),B(1,1),

則有||=x-x²=-(x)²,故||∈［0,］;

對于［0,1］上的函數y=x³,則有||=x-x³=g(x),

在(0,1)上,g′(x)=1-3x²,

可知在(0,1)上y=g(x)只有一個極大值點x=,

∴函數y=g(x)在(0,)上是增函數;在(,1)上是減函數.又g()=,

故||∈［0,］.

經過比較,＜,∴取k∈［,),則有函數y=x²在［0,1］上可在標準k下線性近似,函數y=x³在［0,1］上不可在標準k下線性近似.