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【題目】如圖，某污水處理廠要在個矩形ABCD的池底水平鋪設污水凈化管道（，E是直角頂點）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好，設計要求管道的接口E是AB的中點，F、G分別落在AD、BC上，且，，設.

（1）試將污水管道的長度l表示成的函數，并寫出定義域；

（2）當為何值時，污水凈化效果最好，并求此時管道的長度.

【答案】（1），定義域.（2）或時，污水凈化效果最好，此時管道的長度為

【解析】

（1）根據題意分別表示出，，即可得解；

（2）結合（1）化簡可得，，利用換元法，令，根據函數性質即可求解.

（1）由題意，，則，∵E是的中點，，

∴，，∴，則，定義域.

（2）由（1）可知，，

化簡可得，

令.

∵，∴，

可得，則，

可得：，且，那么.

當時，取得最大值為，

此時，即或，∴或，

故或時，污水凈化效果最好，此時管道的長度為.

練習冊系列答案

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1⊥底面ABC，AC⊥BC,四邊形BB1C1C為正方形，設AB1的中點為D，B1C∩BC1=E.

求證：（1）DE∥平面AA1C1C;

(2)BC1⊥平面AB1C.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】小明在石家莊市某物流派送公司找到了一份派送員的工作，該公司給出了兩種日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一單獎勵1元；乙方案：底薪140元，每日前55單沒有獎勵，超過55單的部分每單獎勵12元.

（1）請分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪（單位：元）與送貨單數的函數關系式；

（2）根據該公司所有派送員100天的派送記錄，發現派送員的日平均派送單數與天數滿足以下表格：

日均派送單數

52

54

56

58

60

頻數（天）

20

30

20

20

10

回答下列問題：

①根據以上數據，設每名派送員的日薪為（單位：元），試分別求出這100天中甲、乙兩種方案的日薪平均數及方差；

②結合①中的數據，根據統計學的思想，幫助小明分析，他選擇哪種薪酬方案比較合適，并說明你的理由.

（參考數據： ， ， ， ， ， ， ， ， ）

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）甲方案：底薪100元，每派送一單獎勵1元；乙方案：底薪140元，每日前55單沒有獎勵，超過55單的部分每單獎勵12元. 求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪（單位：元）與送貨單數的函數關系式；

①、由表格可知，甲方案中，日薪為152元的有20天，日薪為154元的有30天，日薪為156元的有20天，日薪為158元的有20天，日薪為160元的有10天，由此可求出這100天中甲方案的日薪平均數及方差：同理可求出這100天中乙兩種方案的日薪平均數及方差，

②不同的角度可以有不同的答案

試題解析：（（1）甲方案中派送員日薪（單位：元）與送貨單數的函數關系式為： ，

乙方案中派送員日薪（單位：元）與送單數的函數關系式為：

，

（2）①、由表格可知，甲方案中，日薪為152元的有20天，日薪為154元的有30天，日薪為156元的有20天，日薪為158元的有20天，日薪為160元的有10天，則

，

，

乙方案中，日薪為140元的有50天，日薪為152元的有20天，日薪為176元的有20天，日薪為200元的有10天，則

，

②、答案一：

由以上的計算可知，雖然，但兩者相差不大，且遠小于，即甲方案日薪收入波動相對較小，所以小明應選擇甲方案.

答案二：

由以上的計算結果可以看出， ，即甲方案日薪平均數小于乙方案日薪平均數，所以小明應選擇乙方案.

【題型】解答題
【結束】
20

【題目】已知橢圓： 的左、右焦點分別為， ，且離心率為， 為橢圓上任意一點，當時， 的面積為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點是橢圓上異于橢圓頂點的一點，延長直線， 分別與橢圓交于點， ，設直線的斜率為，直線的斜率為，求證： 為定值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】選修4—4：極坐標與參數方程

在平面直角坐標系中，將曲線 (為參數) 上任意一點經過伸縮變換后得到曲線的圖形．以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線．

（Ⅰ）求曲線和直線的普通方程；

（Ⅱ）點P為曲線上的任意一點，求點P到直線的距離的最大值及取得最大值時點P的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）＝loga（x+1），g（x）＝2loga（2x+t）（t∈R），其中x∈[0，15]，a＞0，且a≠1．

（1）若1是關于x的方程f（x）﹣g（x）＝0的一個解，求t的值；

（2）當0＜a＜1時，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求t的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某投資人欲將5百萬元資金投人甲、乙兩種理財產品，根據銀行預測，甲、乙兩種理財產品的收益與投入資金的關系式分別為，，其中為常數且．設對乙種產品投入資金百萬元．

（Ⅰ）當時，如何進行投資才能使得總收益最大；（總收益）

（Ⅱ）銀行為了吸儲，考慮到投資人的收益，無論投資人資金如何分配，要使得總收益不低于0.45百萬元，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，點在正方體的面對角線上運動，則下列四個命題：

①面；

②；

③平面平面；

④三棱錐的體積不變.

其中正確的命題序號是______．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】下面幾種推理是合情推理的是(　　)

①由圓的性質類比出球的有關性質;②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內角和是 歸納出所有三角形的內角和都是;③由,滿足,,推出是奇函數;④三角形內角和是,四邊形內角和是,五邊形內角和是,由此得凸多邊形內角和是.

A. ①②B. ①③④C. ①②④D. ②④

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】給出下列命題:

(1)函數的圖象關于點對稱;

(2)函數在區間內是增函數;

(3)函數是偶函數;

(4)存在實數,使;

(5)如果函數的圖象關于點中心對稱,那么的最小值為.

其中正確的命題的序號是___________.

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