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已知兩個不共線的向量
a
，
b
滿足
a
=(1，
3
)，
b
=(cosθ，sinθ)(θ∈R)，
（1）若2
a
-
b
與
a
-7
b
垂直，求向量
a
與
b
的夾角；
（2）當θ∈[0，
π
2
]時，若存在兩個不同的θ使得|
a
+
3
b
|=|m
a
|成立，求正數m的取值范圍．
分析：（1）利用條件2
a
-
b
與
a
-7
b
垂直，建立方程關系，先求
a
•
b
，然后求向量夾角．
（2）利用三角函數的性質得到關于θ的方程，結合三角函數的圖象進行化簡求范圍．
解答：解：（1）∵2
a
-
b
與
a
-7
b
垂直，∴（2
a
-
b
）•（
a
-7
b
）=0，
即2
a
2+7
b
2-15
a
?
b
=0
∵
a
=(1，
3
)，
b
=(cosθ，sinθ)(θ∈R)，
∴|
a
|=2，|
b
|=1，
即2×22+7-15
a
?
b
=0，
解得
a
?
b
=1，
∴設向量
a
與
b
的夾角為θ，則cos?θ=
a
?
b
|
a
|?|
b
|
=
1
2×1
=
1
2
，
∴θ=
π
3
．
（2）∵
a
=(1，
3
)，
b
=(cosθ，sinθ)(θ∈R)，
∴|
a
|=2，|
b
|=1，
a
?
b
=cos?θ+
3
sin?θ=2sin?(θ+
π
6
)，
由|
a
+
3
b
|=|m
a
|，得
a
2+2
3
a
?
b
+3
b
2=m2
a
2，
即4m2=7+4
3
sin?(θ+
π
6
)，
∵θ∈[0，
π
2
]，
∴
π
6
≤θ+
π
6
≤
2π
3
，
則要存在兩個不同的θ使得|
a
+
3
b
|=|m
a
|成立，
則
π
3
≤θ+
π
6
≤
2π
3
且θ+
π
6
≠
π
2

此時
3
2
≤sin?(θ+
π
6
)＜1，
∴13≤7+4
3
sin?(θ+
π
6
)＜7+4
3
，
即13≤4m2＜7+4
3
，
∴
13
4
≤m2＜
7+4
3
4
=(
2+
3
2
)2，
∵m＞0，
∴
13
2
≤m＜
2+
3
2
．
點評：本題主要考查平面向量的數量積以及利用向量和三角函數之間的關系的化簡和求值，綜合性較強，運算量較大．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知兩個不共線的向量a，b滿足a+2xb=xa+yb，那么實數x，y的值分別是（　　）
A、0，0B、1，2C、0，1D、2，1

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知兩個不共線的向量
a
，
b
，它們的夾角為θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，x為正實數．
（1）若
a
+2
b
與
a
-4
b
垂直，求tanθ；
（2）若θ=
π
6
，求|x
a
-
b
|的最小值及對應的x的值，并判斷此時向量
a
與x
a
-
b
是否垂直？

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知兩個不共線的向量
a
，
b
，它們的夾角為θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，若
a
+
b
與
a
-4
b
垂直，則sin(θ+
π
6
)=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知兩個不共線的向量
a
，
b
的夾角為θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，x為正實數．
（1）若
a
+2
b
與
a
-4
b
垂直，求tanθ；
（2）若θ=
π
6
，求|x
a
-
b
|的最小值及對應的x的值，并指出此時向量
a
與x
a
-
b
的位置關系；
（3）若θ為銳角，對于正實數m，關于x的方程|x
a
-
b
|=|m
a
|有兩個不同的正實數解，且x≠m，求m的取值范圍．

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