Question

（2009•宜春一模）已知x=1是f（x）=2x-

b

x

+lnx的一個極值點
（1）求b的值；
（2）求函數f（x）的單調增區間；
（3）設g（x）=f（x）-

3

x

，試問過點（2，5）可作多少條直線與曲線y=g（x）相切？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f′（1）=0，解方程即求得b值，注意檢驗；
（2）在定義域內解不等式f′（x）＞0，可求單調增區間；
（3）設過點（2，5）與曲線g （x）相切的切線的切點坐標為（x₀，y₀），則由切線過點（2，5）可得y₀-5=g′（x₀）（x₀-2），可化為lnx0+

2

x0

-2=0，令h（x）=lnx+

2

x

-2，問題轉化為h（x）在（0，+∞）上的零點個數，由零點判定定理可得結論；

解答：解：（1）因x=1是f（x）=2x-

b

x

+lnx的一個極值點，∴f′（1）=0，
又f′（x）=2+

b

x2

+

1

x

，
所以2+b+1=0，解得b=-3，
經檢驗，適合題意，所以b=-3；
（2）f′（x）=2-

3

x2

+

1

x

＞0，
又x＞0，∴x＞1，
∴函數的單調增區間為[1，+∞）；
（3）g（x）=f（x）-

3

x

=2x+lnx，
設過點（2，5）與曲線g （x）相切的切線的切點坐標為（x₀，y₀），
∴y₀-5=g′（x₀）（x₀-2），即2x0+lnx0-5=(2+

1

x0

)(x0-2)，
∴lnx0+

2

x0

-2=0，
令h（x）=lnx+

2

x

-2，
由h′(x)=

1

x

-

2

x2

=0，得x=2，
∴h（x）在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，
又h（

1

2

）=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h(e2)=

2

e2

＞0，
∴h（x）與x軸有兩個交點，
∴過點（2，5）可作2條曲線y=g（x）的切線；

點評：本題考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性，考查轉化思想，解決（3）問的關鍵構造函數轉化為函數零點問題．