Question

(幾何證明選講)D、E分別為△ABC的邊AB、AC上的點，且不與△ABC的頂點重合．已知AE的長為m，AC的長為n，AD、AB的長是關于x的方程x²－14x＋mn＝0的兩個根．

(1)證明：C、B、D、E四點共圓；

(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C、B、D、E所在圓的半徑．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(Ⅰ)連接DE，根據題意在△ADE和△ACB中， 　　 　　即．又∠DAE＝∠CAB，從而△ADE∽△ACB因此∠ADE＝∠ACB 　　所以C，B，D，E四點共圓． 　　(Ⅱ)m＝4，n＝6時，方程x2－14x＋mn＝0的兩根為x1＝2，x2＝12．故AD＝2，AB＝12． 　　取CE的中點G，DB的中點F，分別過G，F作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點，連接DH．因為C，B，D，E四點共圓，所以C，B，D，E四點所在圓的圓心為H，半徑為DH． 　　由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF＝AG＝5，DF＝(12－2)＝5． 　　故C，B，D，E四點所在圓的半徑為5