Question

【題目】已知.

（1）將的單調區間和極值；

（2）若有兩個零點，求的取值范圍，并證明.

Answer 1

【答案】（1）在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；有極小值，無極大值；（2），證明見解析.

【解析】

（1）求得函數的導數，求得函數的單調性，根據函數極值的概念，即可求解；

（2）由（1）和題設條件得到極小值，令，化簡得到函數，進而求得，再由題目條件化簡得，

利用分析法，即可證得結論.

（1）由題意，函數，則，

令，即，可得，解得，

令，即，可得，解得，

所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以當時，函數取得極小值，

極小值為，無極大值.

（2）由（1）可知，若函數有兩零點，則極小值，

所以，可得，即，且極值點，

又由，

令，則，，

，

令，，

在上單調遞增，所以

所以，所以，

從而可得在上有一個零點，

所以當時，在區間各有唯一零點

由題目條件可得，兩邊同時取對數可得，，

兩式相減可得，即，

要證，

只需證，即證，即證，

即證 即證 ，

令 ，則，只需要證，

令，則，可得，

當時，所以在上單調遞增，

所以當時，所以 在 上單調遞增，

當時，即在上恒成立.

原命題得證.