Question

過雙曲線左焦點，傾斜角為的直線交雙曲線右支于點，若線段的中點在軸上，則此雙曲線的離心率為（ ）

A．

B．

C．3

D．

Answer 1

D

解析試題分析：由于線段PF₁的中點M落在y軸上，連接MF₂，則|MF₁|=|MF₂|="|PM|=" |PF₁|⇒△PF₁F₂為直角三角形，△PMF₂為等邊三角形，于是|PF₁|-|PF₂|=|MF₁|=2a，|F₁F₂|="2c=" |MF₁|=2a⇒c= a，由c²=a²+b²可求得b= a，于是 雙曲線的漸近線方程可求。解：連接MF₂，由過點 PF₁作傾斜角為30°，線段PF₁的中點M落在y軸上得：|MF₁|=|MF₂|═|PM|=|PF₁|，∴△PMF₂為等邊三角形，△PF₁F₂為直角三角形，∵是|PF₁|-|PF₂|=|MF₁|=2a，|F₁F₂|=2c=|MF₁|=2a，∴c=a，又c²=a²+b²，∴3a²=a²+b²，∴b=a，∴雙曲線的離心率為故選 D．
考點：雙曲線定義的靈活應用
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，關鍵是對雙曲線定義的靈活應用及對三角形△PMF₂為等邊三角形，△PF₁F₂為直角三角形的分析與應用，屬于難題．