Question

等比數列{a_n}中．a₁，a₂，a₃分別是下表第一、二、三行中的某一個數．且a₁，a₂，a₃中的任何兩個數不在下表的同一列．

	第一列	第二列	第三列
第一行	3	2	10
第二行	6	4	14
第三行	9	8	18

（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）如數列{b_n}滿足b_n=a_n+（-1）ⁿlna_n，求數列b_n的前n項和s_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由表格可看出a₁，a₂，a₃分別是2，6，18，由此可求出{a_n}的首項和公比，繼而可求通項公式
（Ⅱ）先寫出b_n發現b_n由一個等比數列、一個等差數列乘（-1）ⁿ的和構成，故可分組求和．

解答：解：（Ⅰ）當a₁=3時，不合題意
當a₁=2時，當且僅當a₂=6，a₃=18時符合題意
當a₁=10時，不合題意
因此a₁=2，a₂=6，a₃=18，所以q=3，
所以a_n=2•3^n-1．
（Ⅱ）b_n=a_n+（-1）ⁿlna_n
=2•3^n-1+（-1）ⁿ[（n-1）ln3+ln2]
=2•3^n-1+（-1）ⁿ（ln2-ln3）+（-1）ⁿnln3
所以s_n=2（1+3+…+3^n-1）+[-1+1-1+1+…+（-1）ⁿ]（ln2-ln3）+[-1+2-3+4-…+（-1）ⁿn]ln3
所以當n為偶數時，s_n=2×

1-3n

1-3

+

n

2

ln3=3n+

n

2

ln3 -1
當n為奇數時，s_n=2×

1-3n

1-3

-(ln2-ln3)+(

n-1

2

-n)ln3=3n-

n-1

2

ln3-ln2 -1
綜上所述s_n=

3n+ n 2 ln3 -1           n為偶數 3n- n-1 2 ln3-ln2 -1   n為奇數

點評：本題考查了等比數列的通項公式，以及數列求和的方法，只要簡單數字運算時不出錯，問題可解，是個中檔題．