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【題目】設函數，.

（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的單調性和極小值（其中為自然對數的底數）；

（2）若對任意的，恒成立，求的取值范圍．

【答案】（1）單調遞減區間為，單調遞增區間為，極小值為；（2）.

【解析】

（1）由題意可得，可求得的值，利用導數可求得函數的單調區間和極小值；

（2）由的，構造函數，可知函數在區間上單調遞減，可轉化為對任意的恒成立，由參變量分離法得出對任意的恒成立，求出二次函數在上的最大值，進而可得出實數的取值范圍.

（1），，

由于曲線在點處的切線與直線垂直，則，可得.

此時，，定義域為，，令，得.

列表如下：

極小值

所以，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為，

函數的極小值為；

（2）由的，

設，則，

由于，所以，函數在上單調遞減，

，由題意可知對任意的恒成立，可得，

對于二次函數，

當時，函數取得最大值，.

因此，實數的取值范圍是.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的右焦點為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為，且與短軸兩端點的連線相互垂直.

（1）求橢圓的方程；

（2）若圓上存在兩點，，橢圓上存在兩個點滿足：三點共線，三點共線，且，求四邊形面積的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】學生考試中答對但得不了滿分的原因多為答題不規范，具體表現為:解題結果正確，無明顯推理錯誤，但語言不規范、缺少必要文字說明、卷面字跡不清、得分要點缺失等，記此類解答為“類解答”為評估此類解答導致的失分情況，某市教研室做了項試驗:從某次考試的數學試卷中隨機抽取若干屬于“類解答”的題目，掃描后由近百名數學老師集體評閱，統計發現，滿分12分的題，閱卷老師所評分數及各分數所占比例大約如下表:

教師評分（滿分12分）

11

10

9

各分數所占比例

某次數學考試試卷評閱采用“雙評+仲裁”的方式，規則如下:兩名老師獨立評分，稱為一評和二評，當兩者所評分數之差的絕對值小于等于1分時，取兩者平均分為該題得分；當兩者所評分數之差的絕對值大于1分時，再由第三位老師評分，稱之為仲裁，取仲裁分數和一、二評中與之接近的分數的平均分為該題得分；當一、二評分數和仲裁分數差值的絕對值相同時，取仲裁分數和前兩評中較高的分數的平均分為該題得分.(假設本次考試閱卷老師對滿分為12分的題目中的“類解答”所評分數及比例均如上表所示，比例視為概率，且一、二評與仲裁三位老師評分互不影響).

（1）本次數學考試中甲同學某題(滿分12分)的解答屬于“類解答”，求甲同學此題得分的分布列及數學期望;

（2）本次數學考試有6個解答題，每題滿分12分，同學乙6個題的解答均為“類解答”.

①記乙同學6個題得分為的題目個數為計算事件的概率.

②同學丙的前四題均為滿分，第5題為“類解答”，第6題得8分.以乙、丙兩位同學解答題總分均值為依據，談談你對“類解答”的認識.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某購物商場分別推出支付寶和微信“掃碼支付”購物活動，活動設置了一段時間的推廣期，由于推廣期內優惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用“掃碼支付”．現統計了活動剛推出一周內每天使用掃碼支付的人次，用表示活動推出的天數，表示每天使用掃碼支付的人次，統計數據如下表所示：

（1）根據散點圖判斷，在推廣期內，掃碼支付的人次關于活動推出天數的回歸方程適合用來表示，求出該回歸方程，并預測活動推出第天使用掃碼支付的人次；

（2）推廣期結束后，商場對顧客的支付方式進行統計，結果如下表：

支付方式

現金

會員卡

掃碼

比例

商場規定：使用現金支付的顧客無優惠，使用會員卡支付的顧客享受折優惠，掃碼支付的顧客隨機優惠，根據統計結果得知，使用掃碼支付的顧客，享受折優惠的概率為，享受折優惠的概率為，享受折優惠的概率為．現有一名顧客購買了元的商品，根據所給數據用事件發生的頻率來估計相應事件發生的概率，估計該顧客支付的平均費用是多少？

參考數據：設，，，

參考公式：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為迎接年北京冬季奧運會，普及冬奧知識，某校開展了“冰雪答題王”冬奧知識競賽活動．現從參加冬奧知識競賽活動的學生中隨機抽取了名學生，將他們的比賽成績（滿分為分）分為組：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）求的值；

（2）記表示事件“從參加冬奧知識競賽活動的學生中隨機抽取一名學生，該學生的比賽成績不低于分”，估計的概率；

（3）在抽取的名學生中，規定：比賽成績不低于分為“優秀”，比賽成績低于分為“非優秀”．請將下面的列聯表補充完整，并判斷是否有的把握認為“比賽成績是否優秀與性別有關”？

優秀

非優秀

合計

男生

女生

合計

參考公式及數據：，．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數（，是自然對數的底數），是函數的一個極值點．

（1）求函數的單調遞增區間；

（2）設，若，不等式恒成立，求的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某校同時提供、兩類線上選修課程，類選修課每次觀看線上直播分鐘，并完成課后作業分鐘，可獲得積分分；類選修課每次觀看線上直播分鐘，并完成課后作業分鐘，可獲得積分分．每周開設次，共開設周，每次均為獨立內容，每次只能選擇類、類課程中的一類學習．當選擇類課程次，類課程次時，可獲得總積分共_______分．如果規定學生觀看直播總時間不得少于分鐘，課后作業總時間不得少于分鐘，則通過線上選修課的學習，最多可以獲得總積分共________分．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線過點，傾斜角為．以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程．

（1）寫出直線的參數方程及曲線的直角坐標方程；

（2）若與相交于，兩點，為線段的中點，且，求．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】年是打贏藍天保衛戰三年行動計劃的決勝之年，近年來，在各地各部門共同努力下，藍天保衛戰各項任務措施穩步推進，取得了積極成效，某學生隨機收集了甲城市近兩年上半年中各天的空氣量指數，得到頻數分布表如下：

年上半年中天的頻數分布表

的分組

天數

年上半年中天的頻數分布表

的分組

天數

（1）估計年上半年甲城市空氣質量優良天數的比例；

（2）求年上半年甲城市的平均數和標準差的估計值（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；（精確到）

（3）用所學的統計知識，比較年上半年與年上半年甲城市的空氣質量情況.

附：

的分組

空氣質量

優

良

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴重污染

.

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