Question

對于函數f（x），如果存在函數g（x）=ax+b（a，b為常數），使得對于區間D上的一切實數x都有f（x）≤g（x）成立，則稱函數g（x）為函數f（x）在區間D上的一個“覆蓋函數”，設f（x）=2^x，g（x）=2x，若函數g（x）為函數f（x）在區間[m，n]上的一個“覆蓋函數”，則n-m的最大值為

 

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Answer 1

分析：由題意知f（x）≤g（x）即-2^x≤2x在區間[m，n]上恒成立，在同一坐標系中同時畫出兩個函數的圖象，進而可分析出滿足條件的區間，進而得到答案．

解答：解：若函數g（x）為函數f（x）在區間[m，n]上的一個“覆蓋函數”，
即f（x）≤g（x）在區間[m，n]上恒成立，
即-2^x≤2x在區間[m，n]上恒成立，
在同一坐標系中同時畫出兩個函數的圖象如圖所示：
由圖可知，當x∈[1，2]時，f（x）≤g（x）
此時n-m取得最大值1
故答案為：1

點評：本題是新定義題，考查函數恒成立問題，考查分析問題解決問題的能力，對于恒成立問題往往轉化為函數最值問題處理．