Question

【題目】已知二次函數f（x）=ax2+2x+c（a≠0），函數f（x）對于任意的都滿足條件f（1+x）=f（1﹣x）．
（1）若函數f（x）的圖象與y軸交于點（0，2），求函數f（x）的解析式；
（2）若函數f（x）在區間（0，1）上有零點，求實數c的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）對于任意的都滿足條件f（1+x）=f（1﹣x），

∴函數f（x）的對稱軸為x=1，

∴﹣ =1，

解得a=﹣1，

∵函數f（x）的圖象與y軸交于點（0，2），

∴c=2，

∴f（x）=﹣x2+2x+2

（2）解：∵函數f（x）在區間（0，1）上有零點，

∴f（0）f（1）＜0，

∴c（﹣1+2+c）＜0，

解得﹣1＜c＜0

【解析】（1）函數f（x）對于任意的都滿足條件f（1+x）=f（1﹣x），得到函數f（x）的對稱軸為x=1，即可求出a的值，再根據函數f（x）的圖象與y軸交于點（0，2），求出c的值，問題得以解決．（2）根據函數零點的性質結合二次函數的性質即可得到結論．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質，需要了解當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能得出正確答案．