Question

已知數列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，x=

2

是函數f（x）=a_n-1x³-3[3a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一個極值點．
（I）證明：數列{a_n+1-a_n}是等比數列；
（II）求數列{a_n}的通項公式；
（III）設b_n=a_n-1，Sn=

a1

b1b2

+

a2

b2b3

+…+

an

bnbn+1

，求證：

2

3

≤Sn＜1．

Answer 1

分析：（I）根據x=

2

是函數f（x）的極值點，利用導數知識得出f（

2

）=0，即a _n+1=3a_n-2a _n-1（n≥2）從而構造出

a n+1-a n

a n-a n-1

=2即可證明{a _n+1-a_n}是等比數列；
（II）由（I）得{a _n+1-a_n}是等比數列是等比數列，首項為2，根據等比數列的通項公式得：a _n+1-a_n=2ⁿ   利用數列求得即可求數列{a_n}的通項公式
（III）由（II）得b_n=2ⁿ-1結合拆項

an

bnbn+1

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

利用拆項法求和Sn，最后結合數列的單調性即可證明

2

3

≤Sn＜1．

解答：解：（I）∵x=

2

是函數f（x）的極值點，
∴f（

2

）=0，即a _n+1=3a_n-2a _n-1（n≥2）…（2分）

a n+1-a n

a n-a n-1

=2
∴{a _n+1-a_n}是等比數列；
（I）{a _n+1-a_n}是等比數列是等比數列，首項為2，∴a _n+1-a_n=2ⁿ   …（6分）
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a _n-1）=2+2¹+…+2 ^n-1=2ⁿ    …（9分）
（III）∵a_n=2ⁿ，∴b_n=2ⁿ-1∵

an

bnbn+1

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

…（11分）
∴Sn=

1

21-1

-

1

22-1

+

1

22-1

-

1

23-1

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

=1-

1

2n+1-1

，n越大，Sn越大，且當n=1時，Sn=

2

3

∴

2

3

≤Sn＜1…（14分）

點評：本小題主要考查等比數列、數列與不等式的綜合、數列求和等基礎知識，考查運算求解能力，化歸與轉化思想．屬于基礎題．