Question

已知橢圓的中心在坐標原點,焦點在X軸上，F₁,F₂分別是橢圓的左、右焦點，M是橢圓短軸的一個端點，△MF₁F₂的面積為4，過F1的直線與橢圓交于A,B兩點，△ABF₂的周長為.

(Ⅰ)求此橢圓的方程；

(Ⅱ）若N是左標平面內一動點，G是△MF₁F₂的重心，且，求動點N的軌跡方程；

（Ⅲ）點p審此橢圓上一點，但非短軸端點，并且過P可作（Ⅱ）中所求得軌跡的兩條不同的切線，、R是兩個切點，求的最小值.

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意設橢圓的方程為，因為是橢圓短軸的一個端點，過的直線與橢圓交于兩點，的面積為，的周長為

所以

所以，所求的橢圓方程為                   ……………………4分

（Ⅱ）設，則由（Ⅰ）得所以，

從而 ．因為, 

所以有,

由于是的重心，即應當是一個三角形的三個頂點，

因此所求動點的軌跡方程為.          ………………7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知動點的軌跡方程為，即．

顯然此軌跡是以點）為圓心，半徑的圓除去兩點剩余部分的部分曲線．

設，則根據平面幾何知識得.

,                                                     …………………………10分

從而根據平面向量數量積的定義及均值不等式得

當且僅當時，取“”   （※） …………………………12分

由點在橢圓上（非短軸端點），并且在圓外，可知

由于，所以條件（※）的要求滿足．

因此的最小值為                 …………………………13分