Question

21．設A、B別為橢圓=1（a，b＞0）的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且x=4是它的右準線。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設P為右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線AB，BP分別與橢圓相交于異于A，B的M、N，證明點B在以MN為直徑的圓內

Answer 1

本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力。

解：（Ⅰ）依題意得解得從而，故橢圓方程為

（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0），設M，M點在橢圓上，①，又M點異于頂點A、B，由P、A、M三點共線可得

從而②.將①式代入②式化簡得,于是為銳角,從而為鈍角,故點在以為直徑的圓內.

解法2:由(Ⅰ)得A(-2,0),B(2,0),設PM,N,則直線AP的方程為,直線BP的方程為.

點M、N分別在直線AP、BP上，

從而.③

聯立消去得

是方程的兩要，即

又⑤

于是由③、④式代入⑤式化簡可得

點在橢圓上，且異于頂點

又從而

故為鈍角，即點在以為直徑的圓內，

解法3：由（Ⅰ）得設則，又的中點的坐標為

，化簡得，直線的方程為，直線的方程為.

點在準線上,

即⑦

又∵點在橢圓上,即

于是將⑦、⑧式代入⑥式化簡可得

從而在以為直徑的圓內