Question

科學植樹的一個重要因素就是要考慮陽光對樹生長的作用．現在準備在一個朝正南方向傾角為α的斜坡上種樹，假設樹高為h m，當太陽在北偏東β而仰角為γ時，該樹在坡面上的影長為多少米？

Answer 1

分析：如下圖，DE是高度為h的樹，斜坡AD朝正南方向，AB為東西方向，BC為南北方向．∠CBD=α，∠ACB=β，∠EAC=γ，∠AED=90°-γ，影長AD=x為未知量．但x難以直接與上述諸已知量發生聯系，故設∠DAC=θ為輔助未知量，以揭示x與諸已知量之間的數量關系，作為溝通橋梁．

解答：解：在△ADE中，

h

sin(γ-θ)

=

x

sin(90°-γ)

，
即

x

cosγ

=

h

sin(γ-θ)

．①
在△ACD中，CD=xsinθ，AC=xcosθ．
在△ABC中，BC=ACcosβ=xcosθcosβ．
在△BCD中，tanα=

CD

BC

=

xsinθ

xcosθcosβ

=

sinθ

cosθcosβ

．②
由①推得x=

h

sin(γ-θ)

cosγ③
由②推得tanθ=tanαcosβ，
即θ=arctan（tanαcosβ）．
代入③，即得樹在坡面上的影長x=

hcosγ

sin[γ-arctan(tanαcosβ)]

點評：本題主要考查正弦定理和反三角函數的應用．三角函數在解決實際問題時有著重要的作用，從這個題也可以看出數學在生活中的用途．