Question

設A在平面BCD內的射影是直角三角形BCD的斜邊BD的中點O，AC=BC=1，CD=

2

．（1）求三棱錐A-BCD的體積V_A-BCD；（2）異面直線AB和CD所成的角的大�。�

Answer 1

分析：（1）因為A在平面BCD內的射影是直角三角形BCD的斜邊BD的中點O，所以OA是三棱錐的高，在直角三角形AOC中可計算AO，再計算底面BCD的面積，利用錐體的體積計算公式即可得所求體積；（2）取BC中點F，AC中點E，利用三角形中位線定理證明∠EFO即為異面直線AB和CD所成的角，再在△EFO中分別計算三邊的長，利用解直角三角形知識即可求得此角

解答：解：（1）∵A在平面BCD內的射影是直角三角形BCD的斜邊BD的中點O
∴OA是三棱錐的高
∵BC=1，CD=

2

．
∴OC=OB=OD=

3

2

，OA=

AC2-OC2

=

1

2

∴VA-BCD=

1

3

S△BCD•OA=

1

3

×

1

2

×1×

2

×

1

2

=

2

12

（2）如圖，取BC中點F，AC中點E，連接EF，OE，OF
∵EF∥AB，OF∥CD
∴∠EFO即為異面直線AB和CD所成的角
在△EFO中，EF=

AB

2

=

AO2+OB2

2

=

1 4 +  3 4

2

=

1

2

OF=

CD

2

=

2

2

，OE=

AC

2

=

AO2+OC2

2

=

1 4 + 3 4

2

=

1

2

∴∠FEO=90°，∠EFO=45°
∴異面直線AB和CD所成的角的大小為45°

點評：本題考查了空間的線面關系，三棱錐的體積計算公式，異面直線所成的角的作法、證法、算法，直角三角形中的邊角計算