Question

已知數列{a_n}中，a1=

1

2

，且前n項和為S_n滿足Sn=n2an，(n∈N*)．
（1）求a₂，a₃，a₄的值，并歸納出a_n的通項公式；
（2）由（1）問結論，用反證法證明不等式：a_n＞a_n+1．

Answer 1

分析：（1）由Sn=n2an，a1=

1

2

，分別令n等于2，3，4，即可得到數列的前4項，由此歸納出{a_n}的通項公式．
（2）假設a_n≤a_n+1，則由{a_n}的通項公式

1

n(n+1)

≤

1

(n+1)(n+2)

，即

1

n

≤

1

n+2

，即n+2≤n，即2≤0矛盾，從而證得a_n＞a_n+1 成立．

解答：解：（1）由Sn=n2an，a1=

1

2

得：
當n=2時，S₂=4a₂，即a₁+a₂=4a₂，∴a2=

1

6

．
當n=3時，S₃=9a₃，即a₁+a₂+a₃=9a₃，a3=

1

12

．
當n=4時，S₄=16a₄，即a₁+a₂+a₃+a₄=16a₄，a4=

1

20

．
歸納出：an=

1

n(n+1)

(n∈N*)．
（2）假設a_n≤a_n+1，則有

1

n(n+1)

≤

1

(n+1)(n+2)

，即

1

n

≤

1

n+2

，
由此解得 n+2≤n，即2≤0，矛盾．
∴假設不成立，故 a_n＞a_n+1成立，不等式得證．

點評：本題主要考查用數列的遞推式求數列的前幾項，用反證法和放縮法證明數學命題，掌握好放縮的程度，是解題的難點，屬于中檔題．