Question

【題目】設函數，其中.

（1）討論的單調性；

（2）若不等式恒成立，求實數a的取值范圍；

（3）求證：對于任意，存在實數，當時，恒成立.

Answer 1

【答案】（1）在上為減函數，在上為增函數；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）求出原函數的導函數．可得當時，，函數在上單調遞減；當時，令求得值，把定義域分段，由導函數在不同區間段內的符號，可得原函數的單調性；

（2）由恒成立，通過分離參數法，轉化成不等式恒成立，設，通過導函數求出的單調性，進而得出的最大值，即可求出a的取值范圍；

（3）由（1）可知當時，在上為減函數，在上為增函數，再分類討論：①當時，當時，，此時取；②當時，構造新函數，利用新函數的單調性，可得出時，，此時取，綜合兩種情況，即可證明出.

解：（1），，

①當時，恒成立，所以在上為減函數；

②當時，由，得，由，得；

由，得，

所以在上為減函數，在上為增函數.

（2）由得，，即不等式，恒成立，

記，則，由得，；

由得，；由得，.

所以在為增函數，在上為減函數，

所以，所以.

（3）證明：由（1）知，

當時，在上為減函數，在上為增函數.

①當，即時，因為在上為增函數，

又，所以，當時，，此時取.

②當，即時，

因為，所以，

，令，，則上式，

記，，則，

所以在上為增函數，所以，即，

因為在上為增函數，且，

所以當時，，此時取.

綜上，對于任意，存在實數，當時，恒成立.