Question

【題目】以邊長為4的等比三角形的頂點以及邊的中點為左、右焦點的橢圓過兩點.

（1）求該橢圓的標準方程；

（2）過點且軸不垂直的直線交橢圓于兩點，求證直線與的交點在一條直線上.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：

（1）先建立直角坐標系，使橢圓方程為標準方程，則

（2）研究圓錐曲線的定值問題，一般方法為以算代證，即先求兩直線交點坐標，再確定交點所在定直線：由對稱性可知兩直線交點必在垂直于x軸的直線上，因此運算目標為求交點橫坐標為定值，設的方程為，，則： ，：，消去y得，再利用直線方程與橢圓方程聯立方程組，結合韋達定理可得，，代入化簡得

試題解析：（1） 由題意可知兩焦點為與，且，因此橢圓的方程為. （4分）

（2） ① 當不與軸重合時，

設的方程為，且，

聯立橢圓與直線消去可得，即，

設，

則： ①

： ②

②-①得

則，即.

②當與軸重合時，即的方程為，即，.

即： ①

： ②

聯立①和②消去可得.

綜上與的交點在直線上.