Question

若=，=（sinωx，0），其中ω＞0，記函數f（x）=（+）•+k．
（1）若f（x）圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離不小于，求ω的取值范圍．
（2）若f（x）的最小正周期為π，且當x時，f（x）的最大值是，求f（x）的解析式，并說明如何由y=sinx的圖象變換得到y=f（x）的圖象．

Answer 1

【答案】分析：利用向量的數量積，化簡函數的表達式，通過二倍角、兩角差的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，
（1）利用周期與函數f（x）的圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離不小于，得到關系式，求出ω的取值范圍；
（2）通過周期求出ω，通過函數的最大值，求出x的值，然后確定k的值．利用函數圖象平移的原則：左加右減，上加下減由函數y=sinx的圖象變換得到函數y=f（x）的圖象．
解答：解：∵=（cosωx，sinωx），=（sinωx，0），
∴+=（cosωx+sinωx，sinωx）．
故f（x）=（+）•+k=sinωxcosωx+sin²ωx+k
=sin2ωx++k=sin2ωx-cos2ωx++k
=sin（2ωx-）+k+．
（1）由題意可知=≥，∴ω≤1．
又ω＞0，∴0＜ω≤1．
（2）∵T==π，∴ω=1．
∴f（x）=sin（2x-）+k+．
∵x∈[-，]，∴2x-∈[-，]．
從而當2x-=，即x=時，f（x）_max=f（）=sin+k+=k+1=，
∴k=-．故f（x）=sin（2x-）．
由函數y=sinx的圖象向右平移個單位長度，得到函數y=sin（x-）的圖象，再將得到的函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），得到函數y=sin（2x-）的圖象．
點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡、公式的應用、周期的求法、最值的應用及函數圖象的變換，還考查發現問題解決問題的能力、計算能力，是常考題型．