Question

（本小題滿分14分）

       在平面直角坐標系中，直線交軸于點A，設是上一點，M是線段OP的垂直平分線上一點，且滿足∠MPO=∠AOP

（1）當點P在上運動時，求點M的軌跡E的方程；

（2）已知T（1，-1），設H是E 上動點,求+的最小值，并給出此時點H的坐標；

（3）過點T（1，-1）且不平行與y軸的直線l₁與軌跡E有且只有兩個不同的交點，求直線的斜率k的取值范圍。

Answer 1

（本小題滿分14分）

       解：（1）如圖1，設MQ為線段OP的垂直平分線，交OP于點Q，

      

       因此即

              ①

       另一種情況，見圖2（即點M和A位于直線OP的同側）。

       MQ為線段OP的垂直平分線，

      

       又

       因此M在軸上，此時，記M的坐標為

       為分析的變化范圍，設為上任意點

       由

   （即）得，

      

       故的軌跡方程為

                     ②

       綜合①和②得，點M軌跡E的方程為

      

（2）由（1）知，軌跡E的方程由下面E₁和E₂兩部分組成（見圖3）：

       ；

      

       當時，過Ｔ作垂直于的直線，垂足為，交E₁于。

       再過H作垂直于的直線，交

       因此，（拋物線的性質）。

       （該等號僅當重合（或H與D重合）時取得）。

       當時，則

       綜合可得，|HO|+|HT|的最小值為3，且此時點H的坐標為

   （3）由圖3知，直線的斜率不可能為零。

       設

       故的方程得：

       因判別式

       所以與E中的E₁有且僅有兩個不同的交點。

       又由E₂和的方程可知，若與E₂有交點，

       則此交點的坐標為有唯一交點，從而表三個不同的交點。

       因此，直線的取值范圍是