Question

【題目】已知函數y＝f(x)(x≠0)對于任意的x，y∈R且x，y≠0都滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)．

(1)求f(1)，f(－1)的值；

(2)判斷函數y＝f(x)(x≠0)的奇偶性．

Answer 1

【答案】（1）f(1)＝0，f(－1)＝0；（2）偶函數.

【解析】試題分析：（1）令x＝y＝1即可得f(1)，令x＝y＝－1即可得f(－1)＝0；

（2）令y＝－1，得f(xy)＝f(－x)＝f(x)＋f(－1)，由（1）可得偶函數.

試題解析：

(1)因為對于任意的x，y∈R且x，y≠0都滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)，

所以令x＝y＝1，得到f(1)＝f(1)＋f(1)，

所以f(1)＝0，

令x＝y＝－1，得到f(1)＝f(－1)＋f(－1)，

所以f(－1)＝0.

(2)由題意可知，函數y＝f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱，

令y＝－1，得f(xy)＝f(－x)＝f(x)＋f(－1)，

因為f(－1)＝0，

所以f(－x)＝f(x)，

所以y＝f(x)(x≠0)為偶函數．