Question

已知(x

x

+

2

3 x

)n的展開式中，前三項的二項式系數之和為37．
（1）求x的整數次冪的項；
（2）分別求出展開式中系數最大的項和二項式系數最大的項．

Answer 1

分析：（1）利用(x

x

+

2

3 x

)n的展開式中，前三項的二項式系數之和為37，建立方程求得n，利用展開式的通項，即可求x的整數次冪的項；
（2）利用二項展開式的通項公式根據展開式中最大的系數大于它前面的系數同時大于它后面的系數求出展開式中系數最大的項；據展開式中間項的二項式系數最大，可得二項式系數最大的項．

解答：解：（1）由題意，(x

x

+

2

3 x

)n的展開式的前三項的二項式系數之和為C_n⁰+C_n¹+C_n²=37
∴n²+n-72=0，∴n=8
∴知(x

x

+

2

3 x

)n的展開式的通項為T_r+1=

C

r 8

x12-

11r

6

當r=0，6時，x的指數為整數
∴x的整數次冪的項有x¹²，28x；
（2）設展開式中第r+1項系數最大，則

C r 8 ≥ C r-1 8 C r 8 ≥ C r+1 8

∴

7

2

≤r≤

9

2

，∴r=4
∴展開式中系數最大的項是第5項，為70x

14

3

；
展開式共有9項，據展開式中間項的二項式系數最大，可得二項式系數最大的項是第5項，為70x

14

3

．

點評：本題以二項式為載體，考查考展開式中二項式系數最大項，考查二項展開式中的系數最大的項的求法，利用最大的系數大于它前面的系數同時大于它后面的系數是求二項展開式中的系數最大的項的關鍵